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20 QCM Olympiades de Mathématiques – Niveau Lycée

20 QCM – Style Olympiades de Mathématiques (Lycée)

Cochez la bonne réponse pour chaque question. Cliquez sur « Soumettre » pour voir votre score et les explications détaillées.

Q1

La suite est définie par u₁ = 1 et u_{n+1} = u_n + 2n. Quelle est la valeur de u_{10} ?

Q2

Combien y a-t-il de nombres entiers de 1 à 1000 qui sont divisibles par 7 ou par 11 ?

Q3

Dans un triangle ABC rectangle en A, on note M le milieu de [BC]. Si AM = 5 et AB = 3, quelle est la longueur de AC ?

Q4

Quelle est la valeur de (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/100) arrondie à l’entier le plus proche ?

Q5

Soit n un entier naturel. Combien vaut 1³ + 2³ + … + n³ ?

Q6

Dans combien de façons peut-on choisir 3 personnes parmi 8 pour former un comité où l’ordre n’importe pas ?

Q7

La suite est définie par u_0 = 1, u_{n+1} = 2u_n + 3. Quelle est la forme fermée de u_n ?

Q8

Quel est le reste de la division de 7^{2025} par 13 ?

Q9

Combien y a-t-il de nombres premiers entre 100 et 120 ?

Q10

Dans un triangle équilatéral de côté 6, quelle est la longueur de la hauteur ?

Q11

Quelle est la valeur exacte de cos(π/12) ?

Q12

Soit ABC un triangle rectangle en C. Si AC = 5, BC = 12, combien vaut AB ?

Q13

Combien de diviseurs positifs a le nombre 360 ?

Q14

La probabilité de tirer deux as successivement d’un jeu de 52 cartes (sans remise) est :

Q15

Quelle est la plus grande puissance de 2 qui divise 100! ?

Q16

Si x + 1/x = 3, quelle est la valeur de x² + 1/x² ?

Q17

Combien de triangles différents (jusqu’à congruence) peut-on former avec des côtés de longueurs entières 3, 4, 5, 6 ?

Q18

La suite de Fibonacci est définie par F_1 = 1, F_2 = 1, F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}. Quelle est F_{10} ?

Q19

Quel est le PGCD de 123456789 et 987654321 ?

Q20

Soit un cube de côté 1. Quelle est la distance entre deux sommets opposés par une face diagonale ?

Réponses commentées

Q1 : B → u_n = n(n+1) → u_{10} = 10×11 = 110

Q2 : B → ⌊1000/7⌋ + ⌊1000/11⌋ – ⌊1000/77⌋ = 142 + 90 – 12 = 220 – 12 = 208

Q3 : A → Médiane vers hypoténuse = moitié hypoténuse → BC = 10 → AC = √(5² – 3²) = 4

Q4 : A → H_{100} ≈ ln(100) + γ ≈ 4,605 + 0,577 ≈ 5,18 → arrondi à 5

Q5 : A → Formule bien connue : somme des cubes = (somme des entiers)²

Q6 : A → C(8,3) = 56

Q7 : A → Solution homogène 2ⁿ, particulière –3 → u_n = a·2ⁿ – 3 → a = 4 → 4·2ⁿ – 3

Q8 : D → Ordre de 7 mod 13 = 12 → 7^{12} ≡ 1 → 7^{2025} = 7^{12·168 + 9} = (7^{12})^{168} · 7^9 ≡ 7^9 mod 13. Calcul montre 10.

Q9 : A → 101, 103, 107, 109 → 4 nombres premiers

Q10 : A → h = (√3/2) × 6 = 3√3

Q11 : A → cos(15°) = cos(45°–30°) = (√6 + √2)/4

Q12 : A → Pythagore : 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²

Q13 : B → 360 = 2³ × 3² × 5 → (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24 diviseurs

Q14 : C → (4/52) × (3/51) = 12 / (52×51) = 1/221 (mais expression exacte demandée)

Q15 : A → ⌊100/2⌋ + ⌊50/2⌋ + ⌊25/2⌋ + … = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97

Q16 : A → (x + 1/x)² = 9 → x² + 2 + 1/x² = 9 → x² + 1/x² = 7

Q17 : B → (3,4,5), (3,4,6) non triangle, (3,5,6), (4,5,6), (3,5,5) non, etc. → 4 triangles valides

Q18 : B → F10 = 55 (suite : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55)

Q19 : A → Somme chiffres 123456789 = 45 ÷9=5, 987654321=45÷9=5 → PGCD divisible par 9 → calcul montre PGCD=9

Q20 : A → Diagonale de face = √(1² + 1²) = √2